Mesele: doglan gün çarhy
Haýsydyr bir san gaýtalanýança näçe aýlaw gerek? Adamlaryň köpüsiniň çaklaýşyndan has az.
37 öýjüklienjamÖýjükRotordaky 37 sany belgilenen bölümiň biri. Başga atlary: ýuwa, çukur.Dolulygyna okaň → çarhda doglan gün meselesi: bary-ýogy 8 aýlawdan soň haýsydyr bir sanyň eýýäm iki gezek çykan bolmagynyň ähtimallygy ýarymdan ýokary. Oýunçylar gaýtalanmalary nusga hökmünde okaýarlar; olar adalatly çarhyň garaşylýan özüni alyp barşy.
Mesele
Adalatly Ýewropa çarhyny aýlaň. Azyndan iki aýlawyň şol bir sany görkezmeginiň ähtimallygymatematikaÄhtimallykNetijäniň mümkinçiligi, 0-dan 1-e ýa-da 0%-den 100%-e çenli. Bir san: 1/37 = 2,70%.Dolulygyna okaň → ýarymdan geçýänçä näçe aýlaw gerek? Oýunçylaryň köpüsi 37-niň ýarysy, takmynan 18 ýa-da 19 diýip çaklaýar. Jogap 8.
Çözgüt
Gaýtalanmazlygyň ähtimallygyny hasaplaň we ony birden aýyryň. k aýlawdan soň p(hemmesi dürli) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). k = 8 üçin: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, diýmek p(haýsydyr bir gaýtalanma) ≈ 0,56. k = 14 üçin ol 0,93; k = 20 üçin 0,996. Duýgy ýalňyşýar, sebäbi aýlaw jübütleriniň sany k² ýaly ösýär we islendik jübüt gabat gelip biler.
Munuň stolda näme üçin ähmiýeti bar
Soňky 20 sanyň netijeler tablosy hemişe diýen ýaly azyndan bir gaýtalanmany, köplenç iki ýa-da üçüsini görkezýär. Oýunçylar “17 on aýlawda iki gezek çykdy” diýip görýärler we 17 gyzgyn diýen netijä gelýärler; doglan gün arifmetikasy on aýlawyň içinde gaýtalanmanyň 74% ýagdaýda bolýandygyny we gaýtalanýan sanyň tötänleýindigini aýdýar. Nusga hakyky; manysy ýok.
Dowamy bolan mesele
Belli bir san, meselem 17, iki gezek çykýança näçe aýlaw gerek? Bu has uly jogaply başga sorag: garaşylýan garaşma 74 aýlaw, 20 aýlawyň içinde iki sany 17-niň çykmagynyň ähtimallygy bolsa takmynan 10%. “Haýsydyr bir san gaýtalanýar” (8 aýlaw) bilen “bu san gaýtalanýar” (74 aýlaw) arasyndaky tapawut soňundan görýän nusgaňyz bilen öňünden edýän çaklamaňyzyň arasyndaky bütin tapawut.
Synap görüň
Demo oýny on aýlaw işlediň we taryha serediň. Adatça bir gaýtalanma bolar. Ony ýene işlediň. Gaýtalanýan san başga bolar. Muny on gezek ediň, şonda siz doglan gün meselesinimatematikaDoglan gün meselesiIki adamyň doglan gününiň gabat gelmegi ähtimal bolar ýaly näçe adam gerek, ýa-da bir sanyň gaýtalanmagy ähtimal bolar ýaly näçe aýlaw gerek. 37 öýjükli çarhda ýarysyndan ýokary mümkinçilik üçin 8 aýlaw ýeterlik.Dolulygyna okaň → gördüňiz; müň gezek ediň (simulýatorlar muny edip bilýär), şonda siz ony ölçediňiz.
Formula
Soraglar
Takyk şeýle, diňe 365 günüň ýerine 37 öýjük. Doglan günler üçin 23 adam 50% berýär; çarh üçin 8 aýlaw 56% berýär.
Takmynan 19 aýlawdan soň 50%. Bu hem adaty ýagdaý.
Ýok. Bir çarhyň müňlerçe aýlawy görkezip biler; bir gaýtalanma hiç haçan görkezmeýär.
Matematika bilen güýmenje
Ilki özüňiz synap görüň. Her çözgüt ýapyk; taýýar bolanyňyzda açyň.
Amerikan çarhynyň ýanyndaky netijeler tablosy soňky 16 aýlawy görkezýär. Onda hiç bir sanyň iki gezek görünmezliginiň ähtimallygy näçe?
Çözgüdi görkez
Jogap Takmynan 2,5%: 40 tablonyň 39-y çemesinde iň bolmanda bir gaýtalanma bar.
Aýlawma-aýlaw gidiň. Birinji aýlaw islendik bolup biler. Ikinji ondan sowulmaly: 38-den 37 mümkinçilik. Üçünji ikisinden hem sowulmaly: 38-den 36. On altynjy on bäş sandan sowulmaly: 38-den 23.
Köpeldiň: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Gaýtalanmasyz tablo seýrek bolýany. Gaýtalanmaly tablo çarh barada hiç zat aýtmaýar.
Ýewropa çarhynyň on aýlawynda 17-niň takyk bäş gezek düşmeginiň ähtimallygy näçe? Haýsydyr bir sanyň, islendik sanyň, bäş ýa-da ondan köp gezek düşmeginiň? Dört aýlawda haýsydyr bir sanyň iň bolmanda üç gezek düşmeginiň?
Çözgüdi görkez
Jogap 17 takyk bäş gezek: 315 576-dan 1. Haýsydyr bir san bäş ýa-da ondan köp gezek: takmynan 8 333-den 1. Dört aýlawda haýsydyr bir san üç ýa-da ondan köp gezek: 349-dan 1.
17 bäş gezek: on aýlawyň haýsy bäşisini saýlaň, 252 ýol, her biriniň ähtimallygy (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Bilelikde 315 576-dan 1.
Haýsydyr bir san: 37 sanyň her biriniň bäş ýa-da ondan köp düşmeginiň ähtimallygy 308 325-den 1, bu 308 325-den 37 ýa-da 8 333-den 1 berýär. Her biri bäş gezek düşen iki sanyň seýrek ýagdaýy iki gezek sanalýar, ýöne ony aýyrmak bu takyklykda hiç zady üýtgetmeýär.
Dört aýlawda üç gezek: bir san üçin 37⁴ mümkin netijäniň 4 × 36 + 1 = 145-si; 37 sanyň islendigi üçin 145/37³ = 349-dan 1.
Goşa nollyçarhNolHiç bir deň tölegli, onikilik ýa-da sütün stawkasynyň ýapmaýan ýeke ýaşyl öýjügi; kazinonyň artykmaçlygynyň çeşmesi. Başga atlary: ýeke nol, 0.Dolulygyna okaň → çarh üçin degişli sanlar 359 275-den 1, 9 243-den 1 we 368-den 1. “17” bilen “haýsydyr bir sanyň” arasyndaky tapawut ýene doglan gün meselesimatematikaDoglan gün meselesiIki adamyň doglan gününiň gabat gelmegi ähtimal bolar ýaly näçe adam gerek, ýa-da bir sanyň gaýtalanmagy ähtimal bolar ýaly näçe aýlaw gerek. 37 öýjükli çarhda ýarysyndan ýokary mümkinçilik üçin 8 aýlaw ýeterlik.Dolulygyna okaň →: geň galmagyň 37 ýoly bar.
Degişme üçin
Bir zat ir gaýtalanýar. Ol zat tötänleýin.
Çeşmeler
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, ruletka soraglary.