Mesele: stoluň çägi
$500 stolda $10-dan Martingeýl. Ol näçe ýygy döwülýär, döwülende näçe ýitirýär we çägi ýokarlandyrmak kömek edýärmi?
Yzly-yzyna alty ýitgi ony döwýär: her sikl üçin 1,8%, 100 aýlawly seanslaryň takmynan 60%-i. Döwülme $630 durýar. Çägi $5 000-e çykarmak döwülmäni has seýrek (her sikl üçin 0,25%) we has uly ($5 110) edýär. Goýlan her dollara garaşylýan ýitgi islendik çäkde 2,70%.
Mesele
Oýunçy gyzylastawkaGyzyl18 gyzyl sana deň tölegli stawka. Fransuzça: rouge.Dolulygyna okaň → $10 goýýar we her ýitgiden soň iki esse artdyrýar, utuşdan soň bolsa başa gaýdýar. Stoluň iň ýokary çägi $500. (a) Yzly-yzyna näçe ýitgi progressiýanystrategiýaProgressiýaÖňki netijelere görä stawkany üýtgedýän islendik düzgün. Negatiw progressiýalar ony ýitgilerden soň, pozitiw progressiýalar bolsa utuşlardan soň ýokarlandyrýar.Dolulygyna okaň → döwýär? (b) Her sikl üçin ähtimallykmatematikaÄhtimallykNetijäniň mümkinçiligi, 0-dan 1-e ýa-da 0%-den 100%-e çenli. Bir san: 1/37 = 2,70%.Dolulygyna okaň → näçe? (c) Döwülende näçe ýitirilýär? (d) $5 000 çäk jogaplary nähili üýtgedýär? (e) Haýsydyr bir çäk ulgamy girdejili edýärmi?
(a)–(c) çözgütler
Stawkalar: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Ýedinjisi 640 > 500 bolardy, şonuň üçin alty ýitgi ony döwýär. (b) Gyzylda p(ýitgi) = 19/37; (19/37)⁶ = 0,0183, her sikl üçin takmynan 1,8%. Bir sikl ortaça takmynan iki aýlaw dowam edýär, şonuň üçin 100 aýlawly seansda takmynan 50 sikl bar we p(azyndan bir döwülme) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, bu 63 esasy birlikpulBirlikUlgamyň ýa-da oýunçynyň işleýän esasy stawkasy. Progressiýalar islendik stolda ulanyp bolar ýaly birliklerde beýan edilýär.Dolulygyna okaň →, siklyň utmaga synanyşan $10-yna garşy.
(d) çözgüt
$5 000-de: 2 560-a çenli stawkalara rugsat berilýär; onunjy stawka, 5 120, kabul edilmeýär. Dokuz ýitgi ony döwýär: (19/37)⁹ ≈ her sikl üçin 0,25%, 100 aýlawly seanslaryň takmynan 11%-i. Döwülendäki ýitgi: 10 + 20 + … + 2 560 = $5 110. Oýunçy has seýrek betbagtçylygy has uly betbagtçylygyň bahasyna satyn aldy. Köp seansyň dowamynda döwülmeleriň garaşylýan bahasy p × ýitgi ≈ 0,0183 × 630 = $500 çäkde her sikl üçin $11,5 we $5 000-de 0,0025 × 5 110 = $12,8; tegelekleme takyklygynda bu şol bir san we ol siklyň garaşylýan ýitgisimatematikaGaraşylýan ýitgiGaraşylýan bahanyň goýlan umumy pula köpeltmek hasyly; seansda ýa-da belli bir döwürde ýitirilýän ortaça mukdar.Dolulygyna okaň → üstüne utýan sikllaryň gazanýan $10-y.
(e) çözgüt
Ýok. Her sikl üçin garaşylýan ýitgi = (sikldaky garaşylýan umumy stawka) / 37, islendik çäkde, sebäbi her stawka özüniň −1/37-si. Çäk diňe ýitginiň köp kiçi utuş bilen az sanly uly ýitginiň arasynda nähili paýlanýandygyny kesgitleýär. Çäksiz we tükeniksiz oýun gaznasypulOýun gaznasyOýun üçin aýrylan umumy pul. Oýun gaznasyny dolandyrmak onuň näçesini her stawkada we her seansda töwekgelçilige salmalydygyny kesgitlemekdir.Dolulygyna okaň → bilen progressiýa hiç haçan döwülmejekdigi manysynda “işlärdi”, emma ol çäksiz mukdary hem goýardy, garaşylýan ýitgi bolsa şol çäksiz mukdaryň 2,70%-i bolardy. MartingeýliňstrategiýaMartingeýlHer ýitgiden soň stawkany iki esse artdyrýan progressiýa. Onuň näme edýändigini we näme etmeýändigini Strategiýa bölüminden görüň.Dolulygyna okaň → işlemegine päsgel berýän zat stol çägistolStol çägiRugsat berilýän iň az we iň köp stawka. Iki esse artdyrýan progressiýalary iň köp çäk togtadýar.Dolulygyna okaň → däl. Arifmetika.
Iki hakyky stol
Torpuň mysaly iň ýokary çägi $1 000 bolan $1-lik stol, bu ýerde oýunçy agşamlyk nahar üçin $30-y her gezek bir dollardan utmagy umyt edýär. 1, 2, 4 … 512 stawkalar on stawka goýmaga mümkinçilik berýär, şonuň üçin yzly-yzyna on ýitgi progressiýany döwýär: Ýewropa çarhynda 785 siklda bir gezek (Amerikan çarhynda 613-de bir gezek), $1 023 bahasy bilen. Otuz siklyň hemmesi 96,2% ýagdaýda şowly bolýar. Galan 3,8% takmynan $1 000 ýitirýär, agşamyň ortaça netijesi bolsa −$9,17, bu takyk otuz siklyň ortaça goýýan $339-unyň 1/37-si. Iň ýokary çägi $2 000 bolan $5-lik stol hem tapawutly däl: $1 280-e çenli stawkalar dokuz stawka goýmaga mümkinçilik berýär, döwülme Ýewropa çarhynda 403 siklda bir gezek (Amerikan çarhynda 323-de bir gezek) bolýar we $2 555 durýar.
Baý oýunçy
Progressiýa pes çägiň ýerine çuň oýun gaznasy beriň: 1 000 birlik, bir birlik esas we gyzyla 1 000 aýlaw, indiki iki esse stawka galan puldan köp bolanda her gezek ýene bir birlikden başlamak bilen. Biz şeýle agşamlaryň bir millionyny simulirledik. Ýewropa çarhynda 52%-i utuşda gutarýar, 21%-i hemme zady ýitirýär, ortaça netije bolsa −124 birlik. Hatda nolsuzçarhNolHiç bir deň tölegli, onikilik ýa-da sütün stawkasynyň ýapmaýan ýeke ýaşyl öýjügi; kazinonyň artykmaçlygynyň çeşmesi. Başga atlary: ýeke nol, 0.Dolulygyna okaň →, her stawka adalatly bolan oýunda hem diňe takmynan 60%-i utuşda gutarardy. Adaty agşam kiçi utuş; ortaçany bolsa nol bilen gutarýan agşamlar töleýär.
Sapak
Kazinolar çäkleri ulgamlary ýeňmek üçin däl-de, öz dispersiýalarynymatematikaDispersiýaNetijeleriň garaşylýan bahanyň töweregine näçe giň ýaýraýandygynyň ölçegi. Bir sana stawkada ýokary, deň tölegli stawkalarda pes.Dolulygyna okaň → çäklendirmek üçin goýýarlar. Martingeýli ýeňmek olaryň hoşal bolýan goşmaça netijesi, arifmetika bolsa ony her niçik-de ýeňerdi. Çägi mesele hasaplaýan oýunçy gaýany tapdy we ony eňňit hasaplady.
Formula
Soraglar
Ol has ýokary çäge çenli saklanmaga mümkinçilik berýär, bu ýerde döwülme has seýrek we has uly. Her dollara garaşylýan ýitgi üýtgemeýär.
Stawkalar 10, 30, 70, 150, 310: $500 çäge bäş ýitgiden soň ýetilýär, döwülme bolsa $570 durýar. Şol bir 2,70%.
Bir oýunçy kazinonyň ätiýaçlygynyň aňsatlyk bilen töläp biljek mukdaryndan köp goýup bilmez ýaly. Dispersiýany dolandyrmak.
Matematika bilen güýmenje
Ilki özüňiz synap görüň. Her çözgüt ýapyk; taýýar bolanyňyzda açyň.
MartingeýlstrategiýaMartingeýlHer ýitgiden soň stawkany iki esse artdyrýan progressiýa. Onuň näme edýändigini we näme etmeýändigini Strategiýa bölüminden görüň.Dolulygyna okaň → gyzylastawkaGyzyl18 gyzyl sana deň tölegli stawka. Fransuzça: rouge.Dolulygyna okaň → $100-dan başlaýar we özüne sikl üçin iň köp n stawka rugsat berýär: yzly-yzyna n ýitgiden soň ol taşlaýar we täzeden başlaýar. Bir sikliň ortaça netijesini n boýunça formula görnüşinde ýazyň we Ýewropa çarhynda 5, 6 we 7 stawka üçin hasaplaň.
Çözgüdi görkez
Jogap Ortaça 100 × (1 − (38/37)ⁿ): 5 stawka üçin −$14,26, 6 üçin −$17,35 we 7 üçin −$20,52. Köp stawka rugsat bermek ortaça sikli gowulandyrmaýar, erbetleşdirýär.
Ähli n stawka utulmasa, sikl $100 utýar, ähli n stawkanyň utulmagy qⁿ mümkinçilik bilen bolýar, bu ýerde q = 19/37. Hemmesi utulanda 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ stawkalar jemi 100 × (2ⁿ − 1) bolýar. Şonuň üçin ortaça 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Bu ýerde 2q = 38/37, 1-den birneme köp, şonuň üçin (2q)ⁿ n bilen ösýär we ortaça peselýär: n = 5 1,1426 we −$14,26 berýär; n = 6 1,1735 we −$17,35; n = 7 1,2052 we −$20,52. Uzyn basgançak has seýrek utulýar, siklleriň 3,6%, 1,8% we 0,9%-inde, ýöne her ýitgi iki esse uly we her siklde stoldan has köp pul geçýär, her stawkanyň 2,70%-i bilen.
Amerikan çarhynda 2q = 40/38 we sanlar −$29,24, −$36,04 we −$43,20 (Taylor, 2021). NolsuzçarhNolHiç bir deň tölegli, onikilik ýa-da sütün stawkasynyň ýapmaýan ýeke ýaşyl öýjügi; kazinonyň artykmaçlygynyň çeşmesi. Başga atlary: ýeke nol, 0.Dolulygyna okaň → oýunda 2q = 1 we basgançak näçe uzyn bolsa-da, her sikl ortaça takyk nol berýär.
“Uly Martingeýl” ýitgiden soň stawkany iki esse artdyrýar we bir birlikpulBirlikUlgamyň ýa-da oýunçynyň işleýän esasy stawkasy. Progressiýalar islendik stolda ulanyp bolar ýaly birliklerde beýan edilýär.Dolulygyna okaň → goşýar, şonuň üçin stawkalar 1, 3, 7, 15, 31 … bolýar. Ilkinji utuş 1-nji, 2-nji, 3-nji ýa-da k-njy stawkada gelende näçe utuşdasyňyz? $10 birlikde we $500 iň ýokary stawkada sikl näçe ýygy bozulýar we sikl ortaça näçä düşýär?
Çözgüdi görkez
Jogap k-njy stawkada utuş sizi k birlik utuşda galdyrýar: +1, +2, +3 we ş.m. $10 we $500-de sikl bäş ýitgiden soň bozulýar, siklleriň 3,57%-i, −$570 bilen. Ortaça sikl goýlan $85,73-den $2,32 ýitirýär: 2,70%.
k-njy stawka 2ᵏ − 1 birlik: 1, 3, 7, 15, 31. Ilkinji k − 1 stawkanyň jemi 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. k-njy stawkadaky utuş 2ᵏ − 1 töleýär, şonuň üçin sikl (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k birlik utuş bilen gutarýar: utuşdan öňki her ýitgi üçin bir goşmaça birlik.
Birlik $10 bolanda stawkalar $10, $30, $70, $150 we $310; indikisi, $630, $500 iň ýokary stawkadan köp. Yzly-yzyna bäş ýitgi, (19/37)⁵ = 3,57%, 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570-e düşýär.
Ortaça: k = 1-den 5-e çenli utuşlar (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 mümkinçilik bilen $10 × k getirýär, bozulma bolsa 3,57% mümkinçilik bilen $570 alýar; bilelikde −$2,32. Goýlan pul siklde ortaça $85,73 we 2,32/85,73 = 2,70%. Şol stoldaky adaty Martingeýl alty ýitgiden soň bozulýar, siklleriň 1,83%-i, −$630 bilen, we goýlan $64,20-den $1,74 ýitirýär: ýene 2,70%.
Oýunçy çägi $1 000 bolan stolda $1 ilkinji stawka bilen gyzylda Martingeýl meýilleşdirýär, şonuň üçin on stawka mümkin: $1, $2, $4 we ş.m. $512-ä çenli. Sikl ähli on stawkany näçe ýygy ýitirýär, oňa ortaça näçe wagt gerek we 200 stawkalyk agşam näçe ýygy şeýle gutarýar?
Çözgüdi görkez
Jogap Sikl ähli ony takmynan 784-den bir gezek ýitirýär, bu $1 023-e düşýär. Bu ortaça takmynan 1 600 stawka, 200 stawkalyk agşam bolsa wagtyň takmynan 11%-inde diwara direýär. Sikl barybir goýlan $11,31-den ortaça $0,31 ýitirýär: 2,70%.
Gyzyla stawka nol hem goşulyp 19/37 mümkinçilik bilen utulýar. Yzly-yzyna on: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, takmynan 784-den 1. 1 + 2 + 4 + … + 512 stawkalaryň jemi $1 023.
Sikl ortaça 2,05 stawka alýar, şonuň üçin 784 sikl takmynan 1 600 stawka alýar. Aýlawma-aýlaw hasaplananda, 200 stawkanyň haýsydyr bir ýerinde on ýitgili yzygiderlik wagtyň 11,3%-inde peýda bolýar.
Betbagtçylyklaryň arasynda oýunçy siklde $1 utýar: erbet siklden öň takmynan $783, soňra −$1 023, tutuş aralykda takmynan −$240. Sikl boýunça: 1 × (1 − 0,00128) − 1 023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Siklde goýlan pul: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. We −0,31/11,31 = −2,70%.
$500 çäkde $10 ilkinji stawka, alty stawka bilen deňeşdiriň: diwar 55 siklden bir gezek gelýär we 200 stawkalyk agşam oňa wagtyň 84%-inde duşýar. Has ýokary çäk heläkçiligi has seýrek we has uly edýär, arzan etmeýär.
Degişme üçin
Her çäkde has seýrek we has uly. Köpeltmek hasyly hemişelik.
Çeşmeler
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.